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数列递推公式求通项公式的方法

2020年05月15日 17:45来源:未知手机版

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递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的方法将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采用不完全归纳法的方法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明。仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键。

>一、利用公式法求通项公式

例1、已知数列满足,,求数列的通项公式。

解析:两边除以,得,则,

故数列是以为首,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。

小结:本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。

二、利用累加法求通项公式

例2、已知数列满足,求数列的通项公式。

解析:由

所以数列的通项公式为

小结:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。

例3、已知数列满足,求数列的通项公式。

解析:由

所以

小结:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。

例4、已知数列满足,求数列的通项公式。

解析:两边除以,得

则,

因此,

小结:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出+ +,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。

三、利用累乘法求通项公式

例5、已知数列满足,求数列的通项公式。

解析:因为,所以,则,

所以数列的通项公式为

小结:本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式。

例6 、已知数列满足

,则的通项

解析:因为 ①

所以 ②

所以②式-①式得

所以

由,取n=2得,则,又知,则,代入③得

小结:本题解题的关键是把递推关系式转化为(n 2),进而求出,从而可得当n 2时的表达式,最后再求出数列的通项公式。

四、利用待定系数法求通项公式

例7、已知数列满足,求数列的通项公式。

解析:设 ④

将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得,则x=-1,代入④式,

得 ⑤

由 0及⑤式,得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故。

小结:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。

例8、已知数列满足,求数列的通项公式。

解析:设 ⑥

将代入⑥式,得

整理得。

令,则,代入⑥式,得

由及⑦式,

得,则,

故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则。

小结:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。

例9、已知数列满足,求数列的通项公式。

解析:设

将代入⑧式,得

,则

等式两边消去,得,

则得方程组,则,代入⑧式,得

由及⑨式,得

则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。

小结:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。

五、利用对数变换法求通项公式

例10、已知数列满足,,求数列的通项公式。

解析:因为,所以。在式两边取常用对数得 ⑩

设 11

将⑩式代入11式,得,两边消去并整理,得,则

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